이거 계산 가능하신분???::짱공유닷컴

이거 계산 가능하신분???

cheri

15.06.13 15:25:56추천 5조회 5,737

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요건 짤방이고요...

나름 소시적에 수학 좋아했었는데...

나이가 들다보니 머리가 굳어서 통 계산이 안되네요...

계산 가능하신 분을 찾습니다..

안이 보이지 않는 상자안에 1부터 33까지의 숫자가 쓰여있는 공이 하나씩 들어있습니다..

그중에서 공을 하나씩 뽑고나서 다시 그 공을 집어넣습니다..

그런식으로 계속 진행했을때

평균 몇번을 뽑아야 모든 숫자의 공을 적어도 한번씩은 뽑게 될까요??

그 평균 기대값을 알고 싶습니다...

그 과정을 수없이 많이 진행했을때 평균적으로 나오는 숫자를 알고 싶네요..

아무리 짱구를 굴려봐도 도통 답이 안나오네요...

이거 계산 가능한 수학 능력자분을 찾습니다...

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카툰룬더링 15.06.13 15:38:23

첫번째 수 a가 나올 확률 1/33 곱하기 ( 두번째 수 b가 나올 확률 1/33 곱학기 a랑 같은수가 나올 확률 1/33)곱하기 (세번째 수 c가 나올 확률 1/33 곱학기 a, b랑 같은 수가 나올 확률 2/33).... 이렇게 하면 되지 않을까요?그리고 평균적으로 나오는 숫자는 일단 서면상으로는 똑같이 1/33입니다. 다만 요런 문제는 실제로 뽑아서 통계내는게 의미있지, 불필요한 내용입니다.
아, 확률로 보자면 제일 처음 뽑는 수가 중복될 확률이 제일 높습니다.

cheri 15.06.13 16:16:39

기껏 리플 달아주셨는데 이런 말씀 드리기 죄송하나...
분명 답은 있는걸 아는데 계산 방법을 모르는거라서요...

소프트탑 15.06.13 15:55:34

짤방저여자 준내 못생김

cheri 15.06.13 16:16:52

그런가요?
하드에 있던 사진엔데 뭔질 모르겠네요 ㅎㅎ

방짱이 15.06.13 17:53:26

뒤로가능

콘팝 15.06.13 16:59:32

저 정신나간 짤 간만에 보네요 ㅎㅎㅎ

일베소탕작전 15.06.13 17:29:06

평균은 17.

cheri 15.06.13 18:00:01

혹시 제가 글을 좀 이해하기 어렵게 썼나요??
일단 공이 33갠데... 최소한 33번은 뽑아야 한번씩은 나오는거라서요...

일베소탕작전 15.06.14 00:02:31

아 문제를 잘못 이해 했습니다.

아메카제 15.06.13 18:01:07

평균치는 최소값과 최대값이 존재해야 하는데
이 경우 최소값은 33 최대값은 무한이므로 값을 구할 수 없음

cheri 15.06.13 18:36:44

아.. 어디에 수렴하는게 아니라 그렇게 되는 건가요???
암튼 답변 감사합니다~~

아메카제 15.06.14 01:14:36

최대값이 특정치에 수렴하지 않는다는걸 증명 해보면,
매번 상자에서 숫자를 꺼내는 행동은 독립적이며, 무한대로 1만 뽑았다고 가정하면 특정 수에 수렴하지 않는다는걸 알 수 있음.

요시아빠 15.06.14 03:37:12

cheri // 잘못된 답변입니다. 신경쓰지 마세요.

평균치에 최소값과 최대값이 존재해야 되는 경우는 각 개별 사건의 발생 빈도가 동일할 때 입니다.
시행횟수가 늘어나는 경우일 수록 발생확률이 낮아지기 때문에 실제로 계산해보면 답이 나옵니다.

아마카제님의 논리대로라면 동전을 던져서 앞면이 1번 나올 때까지의 시행횟수는
최소 1회, 최대 무한이기 때문에 값을 구할 수 없다는 결과가 나옵니다.......
실제로는 평균 2번인데 말이죠.

확률이라는게 워낙 헷갈리는 학문이라(적어도 저에게는 ㅎㅎ) 과거에 저도 비슷한 오류를 범한 기억이 있네요.

아마 모든 경우의 (시행횟수 * 발생확률) 의 총 합으로 기대값을 구하려고 생각하셨나봐요.?? 그렇게 하시면 답을 구할 수는 있지만 굉장히 힘듭니다.........
아마 베르누이 시행까지는 배우신 분이 아닌가 싶어요.

cheri 15.06.14 07:48:16

요시아빠// 그쵸?? 저는 계산 방법을 몰랐을뿐이지.. 암만 생각해도 한 숫자에 수렴할 것 같았는데 말이죠.. 리플 남겨주셔서 속시원하네요..

NEOKIDS 15.06.14 01:21:41

무슨 생각이었을까................

가재장군 15.06.14 02:14:23

출렁거리는 행위예술

요시아빠 15.06.14 03:33:05

그다지 좋은 학생은 아니었지만 확률론이랑 마르코프 과정을 조금 공부했습니다.

1번째 공을 뽑을 확률은 33/33 입니다. 그러므로 기대값은 1/(33/33) 회 시도 입니다.
1번째 공을 얻을 때 까지의 기대값은 1.
2번째 공을 뽑을 확률은 32/33 입니다. 그러므로 2번째 공을 얻기까지의 기대값은 1/(32/33) 회 시도.
2번째 공을 뽑을 때 까지의 기대값은 1 + (33/32)
.....
n번째 공을 뽑을 때 까지의 시도 횟수는
1 + (33/32) + (33/31) + .... (33/34-n)

요시아빠 15.06.14 03:37:45

단, n은 33 이하의 자연수여야 하겠죠.

흠..... 조금 자세하게 풀어서 설명을 드리자면 아래와 같습니다.

요시아빠 15.06.14 03:46:39

*** n번째 공을 뽑은 상태에서 천이는 자기자신(n)과 순방향(n+1)으로만 이루어지며(아마 이걸 n에서 n+1번째로 accessible이며 각 n번째 상태는 transient 라고 할겁니다... 너무 오래되놔서 확실치는 않습니다;;), 사용된 공은 시스템에 회복되어 매번의 시행은 과거까지의 결과가 시스템에 영향을 미치지 않는 독립시행으로 이루어집니다.

0번째 성공부터 33번째 성공까지의 총 34개의 상태를 정의하고 각 상태에서 다음 상태로의 천이의 확률을 계산하여 개별 천이당 기대 시행횟수를 덧셈으로 더하면 0번째 성공부터 33번째 성공까지의 총 시행의 기대값을 구할 수 있습니다.

참고로 각 상태천이의 기대값은 천이확률의 역수입니다.고로 각 상태천이의 확률을 더하면
590436990861839/4375865239200= 134.93034144940516339107........

대략 135회 정도네요.평균적으로 135번정도 시도하면 33번째 공을 뽑을 수 있습니다.

요시아빠 15.06.14 03:53:28

참고로 계산식은
sum_k=1^33 33/(34-k)
시그마의 범위는 1~33, 각 항은 33/(34-k) 입니다.

요시아빠 15.06.14 04:08:08

http://mentalplex.blogspot.kr/2012/05/blog-post_03.html
여기서 위의 계산식으로 확인해 보실 수 있고요, 마지막 33번째 시행에서는 성공확률이 1/33 이므로 평균적으로 33번 시도해야 된답니다!

주사위에서 6이 나올 확률이 1/6 이니까
6이 한번이라도 나오려면 평균적으로 6번을 던져야 하는 것과 같은 맥락이라고 생각하시면 이해가 쉽습니다.

요시아빠 15.06.14 04:20:15

그래도 실제로 실험해보고 싶으시다면, 또 간단한 프로그래밍이 가능하시다면 매트랩으로 시뮬레이션을 돌려보시는 것을 추천드립니다. 한 10만번 정도 시뮬레이션을 돌리시면 135 정도를 중심으로 위로 볼록한 분포도를 얻으실 수 있을겁니다.

cheri 15.06.14 07:49:13

역시 능력자님이 계셨군요...
정성스럽고 자세한 답변 정말 감사드립니다...
어제부터 계속 궁금했는데... 차근차근 읽어보겠습니다...
고맙습니다!